能够同时照顾到自然存在的“咪”和“嗦”这两个音符的,只有十二平均律。估计就是这个原因,使得十二音音阶系统分别在中国和古代希腊独立出现,并且延续至今。
撰文 | 吴进远(美国费米国家加速器实验室)
下午最后一门课考完,不用复习功课的晚上还多少有点无聊。我在宿舍半躺着刷手机,两双眼皮上下打架。
泉余室友冲我招招手:“带你去个好地方,我们实验室有兴趣没有。”
我迷迷糊糊跟着他来到实验室。
“看看,”泉余室友指着实验室中间一个尖头大圆筒:“咱们坐上这个,经过虫洞,穿越时空,到古代转一圈如何?”
“别逗了,”我感觉智商受到侮辱:“穿越虫洞?你需要的能量差N多个数量级好吧?你靠这个也就能哄哄非物理专业的妹子。”
“可如果是物理专业的学霸妹子,你暗恋的女神请你,又该怎么说呢?”泉余室友拉开舱门,里面是珍旭班长。
“这个么?”我后半句话还没有想好,人已经钻到舱里了。
“脑细胞在某些生物化学大分子浸润下,物理定律经常失效,”泉余室友有些得意地唠叨着,也进来坐到了后座。
舱门关上,灯灭了,我睁了一下眼。哦,宿舍熄灯了。
珍旭班长按下启动按钮,穿梭机开动了,可是刚走了不一会儿,机舱里的噪音变低了。看看显示屏,才走了400多年。珍旭班长点开另一个显示:“好像前面有人不高兴,影响了空间曲率,我们得先停一下了。”
我看看窗外,模糊地看到路边一块石碑一晃而过,上面的字是:“端靖世子”。哇,这是大名鼎鼎的明代音律学家朱载堉呀。
下了穿梭机,来到一间土屋,一位老者在案上秉烛握笔写作。
“世子老师好,”我们三人立定挺身,双手附心,高揖行礼。
老者起身拱手回礼:“坐吧。”
1 傻傻分不清的五音七音十二音
“世子老师,”泉余室友请教:“很多同学知道您发现了十二平均律,因此以为在您之前中国音乐只有五个音符,在您之后才有了十二个音符。”
“你们不会也这么以为吧?其实,十二音律出现得非常早,我找到的十二平均律是一种给这十二个音符确定音高的方法。”
“据传说,”老者接着讲:“在黄帝的时代,十二音就出现了。传说固然是传说,但我们可以相信,十二律的产生,是古代各族交流中音乐律制融合的结果。看样子你们对古代典籍存疑?那么从土里头挖出来的东西总该算眼见为实吧。战国时期的曾侯乙,他的编钟有完整的十二音律,可以旋宫转调。”
“十二音律产生的年代,比三分损益法早很多,自然更比我的十二平均律早。当然,十二音出现的具体过程并没有详细的记载,你们完全可以根据现代的声学知识去猜测。谁愿意先谈谈自己的想法?”
“我觉得人们是首先认识了音符。”我说:“在自然界的稳定单音高声音当中,比如老牛的叫声,就包含了基频的整数倍频率成分。这里面的 4,5,6 倍频就对应着‘多’,‘咪’,‘嗦’这三个音符,听力好的人,直接就可以听出来。实际上,用牛角号还可以把这几个音符单独吹出来。然后,通过不同牛角号之间这几个音符的匹配组合,人们就有可能认识五音或七音音阶,我前一阵写过一篇文章讨论了这个猜想。”(见向牛学琴:伟大的七声音阶是怎样出现的)
“那么有了五音或者七音音阶,人们又是怎么得到12音阶的呢?”
“世子老师,”珍旭班长说:“借您的琴用用好吗?”
老者把柜子上的芭蕉木古琴搬到台案上,珍旭班长拨动琴弦:“我们把这个满弦的音唱成‘多’,或者‘宫’。”
她按住琴弦一半的地方,这时琴弦拨动后发出高八度的“多”。然后又按住不同的位置,逐个找到“来咪发嗦啦西”几个音符。老者拿了支毛笔,沾了白色的水粉,让珍旭班长把这几个音的位置标注在琴板上。
“七个音的位置画出来了,显然这些音之间的间隔是不均匀的,有的宽有的窄。”珍旭班长说:“看看这样的不均匀,大家有木有冲动,想在这些音中间插入新的音符呢?如果我们在比较宽的间隔中插入一个音,就会得到十二个音,它们的间距也会显得比较均匀了。这有点像是在钢琴的七个白键之间,插入五个黑键。”
“如果是从五音出发呢?”老者把“发”和“西”擦掉。
“五音在琴弦上的间隔也很不均匀,如果我们在比较窄的间隔中插入一个音,在比较宽的间隔中插入两个音,也可以得到12个音。这就有点像在钢琴的五个黑键之间,插入七个白键。”珍旭班长说:“所以,我觉得我们的祖先应该是以自然存在的‘多咪嗦’等音符为骨架,先获得五音或七音,然后在它们之间逐步插入其他音,最后得到了相对比较均匀的12音。”
“有了12音,我们就可以方便地把一首歌或者乐曲转调了。看看,这是我弹的。”泉余室友拿出手机,点开一个视频。“这里面,是CDEFG这几个音符分别作为‘多’的情况。”
01:03呵呵,是《小小星星》,弹了五遍,一遍比一遍高一度。
2 从三分损益法到十二平均律
可是,这12个音在琴弦上的准确位置,应该是什么地方呢?也许这就该问问世子老师了。
“其实,人们两千多年前就已经开始在想这个问题了。”老者说:“那时候人们提出的想法叫做三分损益法。”
在古希腊也有类似的方法叫五度相生法,两种方法细节上有一些差异,但基本的原理是一样的。
老者先拨动了一下满弦,这个音是“多”。然后用手指按在琴弦2/3的位置,或者说,把琴弦“损”掉1/3。琴弦短了,拨动时发出的声音因此变高了,是“嗦”。
把“嗦”的琴弦长度量出1/3,然后加回去,或者说“益”1/3。琴弦长了,拨动时发出的声音变低了,听上去是“来”。把“来”的琴弦缩短或“损”1/3,得到“啦”。把“啦”的琴弦长度量出1/3,然后“益”回去,得到“咪”。
“用这种方法可以生成五音或者七音,继续做下去,还可以生成12个音,而且最后那个音基本上能够循环到高八度的“多”,只不过略微差了一点点”。老者指着我:“你算算看,差了多少?”
f(HI_DO)/f(DO) = 312/218 = 531441/262144 = 2.027
我拿出手机,算出上面这个数。高音“多”与“多”之间的频率比例应该是精确的 2。现在通过三分损益法或者五度相生法,得到频率比是2.027,差了1.3%左右。
“不要小看这么一点差别,实际演奏起来就会非常难听”。老者继续讲解:“这个方法中大部分五度之间都是和谐的,频率比值为3/2,但是最后那个五度,也就是从‘发’到高音‘多’之间,会显得非常不和谐。”
欧洲的音乐家管这样的五度叫做“狼五度”,意思是合在一起演奏像狼叫一样难听。除了“狼五度”,还有其他的“狼音程”,也很难听。此外,由于音程之间的频率比不统一,所以,一个乐曲一转调,听着就非常别扭。两千年来,有不少人试着解决这个难题,但结果一直不很理想。
“那么,您是怎么解决这个难题的呢?”
“我的做法是把所有音符之间的比例统一起来,也就是说,让任意两个相邻半音之间的频率比等于一个常数”:
“这样一来,不管你怎样转调,所有音程之间的频率比都是统一的。一首歌曲或者乐曲就不会因为转调而变得难听了。”
泉余室友用手机算出了这个数,我也拿出手机,找到世子老师《乐律全书》的书页,仔细地比较了一下这两个数。好嘛,一个字都不差,确切说,世子老师算的比手机计算器的结果还多9位,这可是用算盘打出来的呀。
3 朱载堉之烦恼
“世子老师的著述,我等读过感触颇深。
”泉余室友道:“您的高尚精神,令我辈感动无比。”“差矣,”老者摇摇手,明显有些不悦:“后世无知多谬语也。”
“世子老师,”我小心地问:“我们说了什么错话吗?您算出十二平均律的音律比例,几乎不用重抄就可以送印刷厂付印,不仅是在音乐艺术上的贡献,更是科学上的贡献。我们对您可是真心崇敬呀,您看,我在您的书页上还加了我的理解。”
“嗯,这也不怪你们。”老者说:“你们想必读了不少明史,被误导了。”
“现在的明史不少是清朝人写的,里面净是明朝的坏话。他们不会平衡地反映明朝近三百年,也有国泰民安,人们安居乐业的时候。不说别的中国历史上人口首次超过一亿就在明朝。他们想让人们对明朝的印象是残暴黑暗,民不聊生。可是这样一来,这个朝代岂不就不会出现了不起的航海家、音乐家、科学家了吗?而实际上,三百年间出了郑和、李时珍、徐光启、宋应星还有我朱载堉这样的人物,这不是很打脸吗?于是他们就先设法忽视这些人物的成就,忽视不了就贬低,贬低不了就编造这些人物有无比高尚的精神,多么非凡,多么和皇上过不去,反正就是不能承认这些成就是在合适的环境中出现的。就说我吧,要不是连年丰收,百姓逛社火过大年,我写了那么多的歌曲,给谁唱?绘制了那么多舞蹈,给谁跳?”
老者很是气愤:“这种瞎编的人中国外国都有,我听说,外国有个作曲家写了个挺欢快、挺好听的曲子,有人就硬说他这么高兴是因为头一年他们国的领导人死了。照这么说,我研究音乐舞蹈几十年,中间死过两个皇上,我的这些成就岂不都可以说成是为了庆祝皇上驾崩?”
“您说的对,”旭珍班长表示同意:“我们到现在,还能读到有人说郑和航海没有用,只会耀武扬威,不会经商做生意。”
“你们现代人发射探测器去火星冥王星,难道不是为了探索未知?难道也是没有用?你们去那里难道就是为了经商做生意?”老者说:“在明朝初年科技条件下,人们看西洋,就像你们现在看火星冥王星一样。”
“您说得好。”我忍不住接话:“我回去用您的话去怼那帮人。清朝灭亡那么多年了,旧的误导还没有澄清,有人又编出新的。”
“你是说有人写了篇《挤一挤朱载堉泡沫》?那个人大概是嫌人们对我的介绍会引起大家的民族自豪感,所以先硬说有个泡沫,然后挤一挤。”老者见我们惊讶,狡黠地说:“你们想知道我怎么了解这么多?我经常化身退休老头,到市里图书馆看书上网。那里一茬茬管理员从小姑娘熬成退休老太,大家都奇怪这个老头怎么还这么硬朗。”
“那篇文章我看过,他的意思是没有朱载堉的十二平均律,巴赫也能写出伟大的音乐作品。”泉余室友说:“这就像是说,没有欧冶子在金属冶炼上取得的成就,关公用石头片绑树棍,也能当青龙偃月刀耍。”
“还有更可乐的,”泉余室友说:“我有个中学同学,硬说朱载堉的十二平均律是通过利玛窦从欧洲学的。”
“哈哈,”老者笑道,“欧洲那边过了二十多年才有人头一次提到2的12次方根这个数。过了五十多年才把这个数算对,你让我上哪儿学去?”
“可不是吗,”珍旭班长说:“这中间差着大约半个世纪了。”
“嗯,看到你们能独立思考,老朽甚慰。”老者说,“你们下一站到哪儿去?”
“我们想去访问毕达哥拉斯老先生。”
“好啊。”老者说,耐不住打了个哈欠,“你们先去玩吧,我要睡了,下次咱们再聊。”
“世子老师,您睡吧。”泉余室友说:“这些年真的委屈您了,要不要我们搬块大石头,帮您压着点棺材板?”
“钻你的虫洞去吧。”
4 可以有十七平均律吗?
坐进了穿梭机,我还是有个疑问:“朱载堉为什么发现的是十二平均律,而不是,13,14,15等等平均律呢?”
“我对这个问题倒是有个猜测。”泉余室友敲敲座舱的墙板,上面显示出一个表格。“这里是10到18平均律每个音符与‘多’的频率比。”
“我们设计音律的时候,不能无中生有凭空臆想闭门造车,而应该把自然界中已经存在的和谐频率关系包括进来”。泉余室友解释道:“比如说,‘多’,‘咪’,‘嗦’这三个音符,对应于牛角号基频的4,5,6倍频。其中,‘咪’,‘嗦’与‘多’之间的频率比,是 1.25 和 1.5 。”
“经过简单粗暴的计算,我们可以看得出来,只有 12 和 17 平均律可以比较好地近似得到1.5,重现‘嗦’这个音符,其他误差都很大。而可以比较准确地得到 1.25,重现‘咪’的平均律相对多一点,有12,15,16和18。由此可见,能够同时照顾到自然存在的‘咪’和‘嗦’这两个音符的,只有十二平均律。估计就是这个原因,使得十二音音阶系统(不一定是十二平均律)分别在中国和古代希腊独立出现,并且延续至今。”
“嗯,有道理。”
5 在维也纳看见十二平均律的美妙
“这样说来,”我还有个疑问:“十二音音阶系统很早以前就出现了,那么,朱载堉算出十二平均律,对世界音乐的影响体现在哪儿呢?”
“我觉得,这种影响主要体现在听觉的领域。”泉余室友说:“就拿键盘乐器来说,确实是在朱载堉出生之前就出现了,但是,每一个键所对应的音高是按照不同的音律调出来的,难免出现类似‘狼五度’这样的问题。十二平均律这样一种定音方法传到欧洲后,键盘还是那个键盘,但每一个键所对应的音高已经不同了。这种变化能够听得见,但却不容易看到。”
“其实也能看到,有了十二平均律,音乐从听觉到视觉都变得更美妙了。”我听到珍旭班长的声音,好像是在一个空旷的音乐厅里回荡。仔细看看,是维也纳金色大厅,已经坐在钢琴边的她,确实让我感觉到了视觉的美妙。
珍旭班长让我和她一起做个实验,我按要求点开手机上一个叫Spectrum View的APP,珍旭班长在钢琴上从低到高把白键与黑键一个挨着一个演奏一遍。APP上记录下了这样一个图,嗯,她说的是美妙其实是这个意思。
这个图里横坐标是时间,纵坐标是频率。我们可以看到,钢琴的声音在谱图上构成了几条完美平滑的指数曲线。我小时候总问一个音符的频率是多少赫兹,十二平均律给了我们一个非常简单的公式,从音符A数,第n个音符的频率为:
从图里我们看到,每次按下钢琴的一个键,都会产生基频和二次三次等倍频,基频和每个倍频都分别构成一条完美平滑的指数曲线。如果钢琴不是按十二平均律调出来的,这些曲线就会多少显得有点坑坑洼洼的。
珍旭班长从钢琴边站起来,音乐厅瞬间变成了一个展览厅。这里是维也纳技术博物馆,珍旭班长指着两件展品让我看。
早期人们发明的键盘一直流传到现在,虽然也有12个键,但是这12个键的地位却不是等同的。它们看上去是以七个白键为主,后来在中间插进了五个黑键。这种设置方法对于转调很不方便,同一个首歌曲,歌唱家唱着嫌高或者嫌低,想降半音或在升半音,钢琴伴奏的指法往往就有不少改动。从另一方面说,由于早期的键盘乐器是用五度相生法或者其他音律调出来的,转了调,有些音之间的频率比会改变,乐曲听起来多少会和原来感觉不同。
在十二平均律普及以后,乐曲转调已经没有了音乐上的障碍,而原来的键盘设计就变成了唯一的障碍。从17世纪中叶开始,很多人重新对乐器键盘做优化设计,在1882年,维也纳一位数学与音乐学生Paul von Janko发明了这种键盘。
这个设计当中,原来钢琴的白键和黑键,现在被错开行安排,于是所有键的地位都是相同的了。这样,在一个调之下学会一首乐曲,转调的时候,只要把手平行移动就可以了,不需要改变指法。当然,使用这种键盘需要钢琴家重新练习,这也就限制了这种键盘的推广。
哦,维也纳,一个音乐的城市,在这里和珍旭班长独处的时光才是真正的美妙。我刚冒出这样一个念头,就发现一下又回到了灯泡耀眼的穿梭机里。泉余室友在后座装睡,嗯,还算自觉。
(未完待续)
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